§12. Четырехмерные операции в электродинамике

Из классической электродинамики известны 4 уравнения Максвелла, исчерпывающим образом описывающие электромагнитный взаимодействия (жирным шрифтом обозначены векторные величины):

1)                            div E = 4πρ (это уравнение представляет собой дифференциальную запись закона Кулона, здесь ρ – это плотность электрического заряда)

2)                            div H = 0 (это уравнение означает отсутствие магнитного заряда, подобного электрическому заряду)

3)                            rot E = - (1/c) ∙ (∂H/∂t) – это уравнение представляет собой закон электромагнитной индукции

4)                            rot H = (1/c) ∙ (∂E/∂t) + (4π/c) ∙ j   - это уравнение описывает создание магнитного поля меняющимся электрическим зарядом или электрическим током (здесь j – это плотность тока)

После того, как теория относительности ввела представления о четырехмерном пространстве-времени (в которое входят трехмерное пространство и одна координата времени), аналогичные представления были перенесены и на другие области, в частности, на электродинамику.

Так, вместо напряженностей электрического и магнитного поля Е и Н было введено понятие «обобщенного поля» А, связанного с напряженностями электрического и магнитного поля, а также с потенциалом электрического поля φ следующим образом:

H = rot A

E = - (1/c) ∙ (∂E/∂t) – grad φ

Тогда трехмерное «обобщенное поле» А и потенциал φ вместе образуют «четырехмерный потенциал», подобно тому, как три координаты пространства и одна координата времени образуют «четырехмерное пространство-время»:

Aⁱ = (φ, A)

Аналогичным образом вводится и четырехмерный вектор электрического тока:

j^l = (cρ, j), где плотность тока j можно записать как j = ρv, где v – скорость носителей тока.

Введем тензорную величину F_ik:

F_ik = (∂A_k/∂xⁱ) – (∂A_i/∂x^k)

Тогда будет иметь силу следующее уравнение:

∂F^ik/∂x^k = (4π/c) ∙ jⁱ

Покажем, что это уравнение эквивалентно двум уравнениям Максвелла. Распишем его по i = 0,1, 2, 3. Например, для i=1:

(1/c) ∙ (∂F¹⁰/∂t) + (∂F¹¹/∂x) + (∂F¹²/∂y) + (∂F¹³/∂z) = (4π/c) ∙ j¹

Подставляя сюда F_ik = (∂A_k/∂xⁱ) – (∂A_i/∂x^k), будем иметь:

(1/c) ∙ (∂E_x/∂t) - (∂H_z/∂y) - (∂H_y/∂z) = - (4π/c) ∙ j_x

Вместе с i=1 и i=2 оно образует одно векторное уравнение, которое и есть уравнение Максвелла: rot H = (1/c) ∙ (∂E/∂t) + (4π/c) ∙ j. А подстановка i=0 дает второе уравнение Максвелла: div E = 4πρ.

Аналогично, следующее уравнение:

(∂F_ik/∂x^l) + (∂F_kl/∂xⁱ) + (∂F_li/∂x^l) = 0

является эквивалентом двух уравнений Максвелла: rot E = - (1/c) ∙ (∂H/∂t) и div H = 0.

К полученным уравнением следует добавить еще одно (т.н. условие Лоренца), выводимое из соотношения между А и Е:

∂Aⁱ/∂xⁱ = 0

Таким образом, получаем четыре уравнения, которые полностью эквивалентны четырем уравнениям Максвелла:

∂Aⁱ/∂xⁱ = 0

F_ik = (∂A_k/∂xⁱ) – (∂A_i/∂x^k)

(∂F_ik/∂x^l) + (∂F_kl/∂xⁱ) + (∂F_li/∂x^l) = 0

∂F^ik/∂x^k = (4π/c) ∙ jⁱ

Подобно тому, как из четырех уравнений Максвелла можно вывести уравнения для электромагнитных волн (а именно, для скорости распространения колебаний E и Н в электромагнитных волнах), то такие же уравнения можно вывести и из этих четырех уравнений:

∆A – (1/с²)(∂²A/∂t²) = (4π/c) ∙ j  

∆φ – (1/с²)(∂²φ/∂t²) = - 4πρ

При отсутствии зарядов и токов получим волновые уравнения:

∆A – (1/с²)(∂²A/∂t²) = 0  

∆φ – (1/с²)(∂²φ/∂t²) = 0,

которые описывают волны, распространяющиеся со скоростью света – точно такие же уравнения получается для напряженностей электрического и магнитного полей Е и Н.

Таким образом, мы видим, что полученные 4 уравнения электродинамики, которыми оперирует теория относительности, по сути своей ничем не отличаются от четырех классических уравнений Максвелла. И все эти преобразования были нужны только для того, чтобы искусственно внести представления о четырехмерных координатах.